Urodził się majątku Szłowiany koło Onikszt na Litwie. Rodzice, Gustaw i Jadwiga z Michałowskich, wychowywali Henryka i jego liczne rodzeństwo w duchu polskości i patriotyzmu. Edukację rozpoczął w rosyjskiej szkole powszechnej, a kontynuował w kowieńskim gimnazjum. Ukończył dwa fakultety- prawo i ekonomię, na uniwersytetach w Rydze o Petersburgu. 

W 1900 roku ożenił się z Jadwigą Kontowtówną. W tym samym roku objął posadę dyrektora koncernu spirytusowego w carskiej Rosji. 

Kilka lat później Brzozowscy kupują majątek ziemski Jakubów koło Kowarska pow. Wiłkomierz. W 1918 roku Henryk wraca na Litwę i początkowo pracuje  w przemyśle gorzelniczym, a potem w Kownie otwiera prywatną kancelarie prawną we własnej, niedawno wybudowanej kamienicy. Jednocześnie jest doradcą prawnym swojego brata Stanisława- dyrektora Montwiłłowskich fabryk w Poniewieżu (browar i drożdżowania).

W czasie II wojny światowej udostępnia swoje mieszkanie najpierw uchodźcom z Polski, a później Krystynie Szukszciance do celów konspiracyjnych.

W 1945 roku przyjeżdża do Polski. Pracuje w Narodowym Banku Polskim w Bydgoszczy. Umiera nagle w 1948 roku.

Miał sześcioro dzieci: czterech synów i jedną córkę z małżeństwa z Jadwigą, oraz nieślubnego syna Henryka.